¿Ha inventado la Economía como ciencia algo práctico o es sólo teoría? Un ejemplo: la invención del muestreo secuencial. Ejercicios prácticos de aplicación en el control de calidad y en otras ciencias.

0.      Introducción.

Buenas.

Seguimos con la elaboración de artículos sobre la Economía como disciplina académica. Como habréis observado, he vuelto a escribir relativamente poco después de redactar mi último artículo. No es que le esté “metiendo al turbo”… es que estoy de vacaciones y me puedo permitir el dedicarle un poco de tiempo al blog, que lo tenía “abandonadillo”. Ya sabéis que no suelo actualizar a menudo. Quiero aprovechar este tiempo libre para realizar otras actividades que mi trabajo y mi actividad social como sindicalista no me permiten todo lo que me gustaría: cuidar la huerta, plantar árboles (a ver si germinan esas semillas de drago que me enviaste, Sibila), viajar… y leer. Tengo pendientes esos manuales de Econometría que me compré recientemente (se me hace la boca agua… ese “Gujarati” parece estar mirándome y diciendo: “léeme, oh sí, léeme, tengo grandes cosas que descubrirte, oh, sí…”).

Bueno, pues hoy voy a atender una petición que me ha hecho Juan Carlos Luque Sánchez por correo electrónico. Juan Carlos se pregunta que si la Economía es una ciencia, ¿cómo es que parece que no haya aportado descubrimientos científicos realizados por ella misma?

Es decir, por lo que leo en su mensaje, a Juan Carlos le parece que, por más que lee sobre Economía (admite no haber leído mucho ni haber leído publicaciones especializadas), todo son teorías, y no hay ningún descubrimiento ni “invento científico” realizado por ella como ciencia (dice querer estudiar Medicina), y le gustaría saber si hay alguno que no sea meramente teórico, sino que tenga “enjundia”, que tenga interés práctico, importancia y aplicación física (…como la Medicina).

Bueno, pues no te preocupes, chico, que los hay. Hay “inventos” e “invenciones científicas” hechas por la Economía a patadas, a montones, “a cascoporro”… y de aplicación práctica y más que práctica… incluso en el mundo de la Medicina.

Este artículo, aparte de responder a la pregunta de Juan Carlos, pretende desmontar y refutar (otra vez) de manera clara y contundente la falsa creencia o percepción que existe entre mucho ignorante sobre que la ciencia económica no es tal y que está constituida tan sólo por “teorías” y por “opiniones de autores”.

Obviamente, la persona educada, formada o con cultura general, sabe que no es así (ahí están, por ejemplo, la producción en cadena o el descubrimiento de los conceptos marginales).

Pero, a nivel popular esto se desconoce y, lo que es peor, muchas veces se conoce pero se miente de manera adrede sobre ello. Eso último sucede especialmente entre determinados sectores ideológicos radicales y alejados del pensamiento principal (y del sentido común) porque a esos “grupos” no les interesa en absoluto que se reconozca a la Economía como ciencia ya que las conclusiones a las que ésta llega como ciencia, contradicen los fundamentos de sus ideas. Y lo último que quieren estos “grupos” (me estoy refiriendo a ultraliberales, anarquistas, conspiranoicos, etc.), es que se contradigan sus conclusiones con la certeza que da una disciplina científica. Porque eso SÍ que se percibe a nivel popular: que la ciencia da la razón. Luego si la Economía no les da la razón a estos grupos… es, según ellos, porque la Economía no es una ciencia, no porque ellos puedan estar equivocados.

Claro, claro…

Pues que se jodan que lo es.

Ya vimos en anteriores artículos que la Economía es una ciencia pero que bien ciencia por mucho que los ultraliberales de la escuela austríaca se empeñen en intentar hacer ver que no, y en otro vimos la importancia de los aspectos de “ciencia dura” (como las matemáticas) dentro de la Economía.

Porque os recuerdo que la Economía no es sólo “ciencia social” y que es prima hermana de las matemáticas (la Economía es muchííííísimo más que las escuelas económicas y las opiniones de autores).

Pues de eso vamos a hablar hoy… de una invención econometrista (esto es, de la estadística económica) realizada por economistas, por motivos económicos, y que en la actualidad tiene una amplia difusión y uso práctico en innumerables ramas de la actividad humana: el muestreo secuencial.

¿Por qué el muestreo secuencial? Pues en realidad he escogido este tema porque cuando Juan Carlos me preguntó por una aplicación práctica de un descubrimiento realizado por la Economía, pensé a la hora de escoger entre las muchas posibilidades que se me brindaban: “pues hombre, así escogiendo una al azar…” Y de las palabras “posibilidades” y “azar”, y el hecho de que Juan Carlos dice ser un admirador de la ciencia médica, se me vino a la cabeza el muestreo secuencial, que tiene que ver con todo eso. Vamos, que podría haber escogido cualquier otra, pero me centro en esta “invención” porque dado que es no sólo una invención económica sino también matemática, espero que nadie discuta su certeza… Si hay algo cierto, son las matemáticas.

[Nota 1: de todas formas no las tengo todas conmigo de convencer a todo el mundo: desde que abrí el blog hay quien me ha cuestionado incluso que 2 + 2 = 4. Sí, sí, sí… no miento: ahí tenéis los comentarios en artículos anteriores, buscadlos. Vamos a ver, señores, ahí yo ya no entro: una cosa es ser “radical” y otra, ser directamente gilipollas. Yo no dialogo ni debato con enfermos mentales, ¿vale?

Nota 2: una advertencia. Voy a hablar de matemáticas. De matemáticas avanzadas. Así que preparaos. Va a ser largo y complicado. Intentaré ser lo más claro posible y hacerme entender hasta para el que no tenga mucha idea, que sé que la inmensa mayoría de los que me leen no tienen ni maldita idea de matemáticas. Pero tenéis que poner de vuestra parte a la hora de entender la explicación: se supone que, como mínimo, sabréis sumar, multiplicar, graficar y lo que es un logaritmo, ¿no?

Nota 3: os recuerdo las “normas para poder solicitar artículos”.

Y ya que estamos, aprovecho también para recordaros que existen unas “normas para poder comentar”, de obligado cumplimiento.

No se desfiltrarán los comentarios de (ni escribiré artículos para aquellos que) no las cumplan. Graciasssss.]

.

1. Los orígenes del muestreo secuencial. El concepto de muestreo secuencial. Cómo y por qué se llegó a él. Quiénes lo inventaron.

.

1.1. Antecedentes.

El análisis secuencial comenzó bajo la forma de juegos y conceptos matemáticos, que intentaban analizar cómo se comportaban un conjunto de probabilidades complejas cuando se aplicaban repetidamente a lo largo del tiempo (“secuencias” o “sucesiones”; una sucesión en matemáticas es una lista ordenada de objetos o eventos).

Retrato de Christiaan Huygens (1629-1695), titulado ‘Christiaan Huygens, el astrónomo’, por Caspar Netscher (1671). Haags Historisch Museum.

Uno de estos juegos, precursor del muestreo secuencial, era el conocido como “la ruina del jugador”, desarrollado por el matemático Christiaan Huygens (1629-1695), si bien otros estudiosos de las matemáticas de los siglos XVII y XVIII como Bernoulli, DeMoivre y Laplace, también le dedicaron atención a esta cuestión.

Este “juego” consiste en demostrar que un jugador que eleve su apuesta a una fracción fija de la de la banca cada vez que gane, pero no la reduzca cuando pierda, irá a la quiebra con el tiempo incluso aunque tenga un valor esperado (o esperanza matemática) positivo en cada apuesta (sí, sí… como leéis: aunque tenga una ventaja de sacar más aciertos). También significa que un jugador con riqueza finita a su disposición, y que juegue a un juego justo (esto es, que cada jugador tenga un valor esperado de 0), perderá irremediablemente (irá a la quiebra) contra un oponente con riqueza infinita.

Esto dio lugar al teorema de Huygens que hoy conocemos como “la ruina del jugador”. El teorema muestra cómo calcular la probabilidad de que cada jugador gane una serie de apuestas que continúen hasta que se le agote a alguno el dinero inicial disponible, dados (o conocidos):

-el dinero inicial,

-la probabilidad constante de ganar (p.e. 50%).

.

Ejemplo: un juego de cara o cruz donde cada uno de los dos jugadores tenga un 50% de ganar, y cada vez que uno pierde, le tiene que dar un euro al ganador y el juego termina cuando uno de los dos se queda sin ningún euro.

Si no hay otros límites al número de lanzamientos de monedas, la probabilidad de que el juego termine de esta forma es del 100% (suponiendo que tenemos todo el tiempo del mundo para jugar, claro).

Si el jugador uno tiene n₁ euros y el jugador dos tiene n₂ euros, las probabilidades de que el jugador uno (P₁) y el jugador dos (P₂) terminen sin un euro son:

Imaginaos que uno de los jugadores tenga más euros que el otro. Por ejemplo, que el jugador uno (P₁) tenga 8 euros y el jugador dos (P₂) tenga 5 euros. ¿Cuáles son las probabilidades de que cada uno pierda?

Así, incluso con las mismas oportunidades de ganar, el jugador que empiece con menos euros es el más proclive a perder a la larga (esto es, quedarse a 0 euros). Si los dos jugadores tuvieran el mismo número de euros, ambos tendrían la misma posibilidad de perder que es, obviamente, el 50%.

[Nota: hoy en día se utiliza este teorema también para mostrar (con tono moralista) que un jugador con una esperanza matemática negativa irá a la bancarrota independientemente del sistema de apuesta si no para de jugar. Obvio, ¿no? Pues de eso viven muchos casinos.]

Como véis, este teorema se basa en establecer límite de llegada (0) a una sucesión de apuestas. Ésa sería más adelante, la base teórica matemática del muestreo secuencial.

Bueno, pues estas cuestiones matemáticas permanecieron como un campo “esotérico” de las mismas o como una curiosidad con aparentemente poca relevancia práctica… hasta la llegada del estudio formal de la estadística en el siglo XVII (publicación en 1663 de Natural and Political Observations upon the Bills of Mortality, de John Graunt), la cual tomó esas curiosidades como base de su cada vez mayor desarrollo y ámbito de aplicación práctica… llegando en el siglo XIX y principios del XX a encontrársele aplicación en algo tan tremendamente necesario como los controles de calidad.

.

1.2. ¿Qué es un control de calidad?

Desde que el hombre es hombre, todas las organizaciones que éste ha creado, han intentado en mayor o menor medida, mejorar su competitividad creando, desarrollando e implementando estrategias, programas y técnicas que mejoren la calidad de sus productos y su servicio, y la productividad de aquello a lo que se dedican.

Es decir, un control de calidad no es más que un procedimiento para evaluar si se están haciendo bien las cosas… y si se pueden mejorar.

Espero que entendáis que eso es de una importancia tremenda para la Economía en general y para la Econometría (estadística económica) en particular. Es parte del proceso de mejoramiento continuo. De hecho, es una evaluación del mismo, vaya.

La estadística de finales del siglo XIX y principios del XX, que fue la época de auge de la Revolución Industrial, estaba centrada en su aplicación a la agricultura y la industria, y el análisis de la producción de ambas cada vez se fue haciendo más y más y más importante. Se necesitaba saber cada vez más y de mejor manera si lo que se estaba produciendo estaba “bien producido”, con una calidad suficiente para poder competir en un mercado que, cada vez más, exigía una mayor calidad en los productos que compraba. Y se inventaron y desarrollaron técnicas para poder evaluar eso.

Cuando un cliente recibe un lote de productos (materia prima, partes u otros componentes) tiene tres opciones:

-Aceptarlo.

-Inspeccionarlo al 100%.

-Realizar un muestreo de aceptación.

.

1.3. ¿Qué es un muestreo de aceptación?

Pues es un proceso de inspección de una muestra de unidades extraídas de un lote con el propósito de aceptar o rechazar todo el lote.

Una muestra es una parte o porción extraída de un conjunto por métodos que permiten considerarla como representativa de él.

Existen muchas técnicas de muestreo. El muestreo secuencial, que trataremos en este artículo en profundidad, es una de ellas.

Mucho ojo y tened esto en cuenta: el propósito de un muestreo no es estimar la calidad del producto en sí, sino juzgar los lotes. Puede que el producto en sí sea bueno… pero el lote que nos están vendiendo puede que contenga demasiados productos defectuosos como para que nos permitamos el aceptarlo. Nuestra misión consiste en evaluar si admitimos el lote o no porque contenga demasiados ordenadores descacharrados, no si admitimos el ordenador modelo Churrasco 3000 como “buen ordenador”. De evaluar eso se encargan los profesionales técnicos de sus respectivas áreas.

.

El muestreo de aceptación es útil cuando:

a) –La prueba es destructiva (hay que destruir el producto para examinarlo). Se pierden dinero y productos de venta.

b) –Es muy alto el coste de inspección o consume mucho tiempo (imaginaos tener que examinar toda la producción de máquinas de coser de una fábrica que nos han enviado… o un porcentaje que sea suficientemente significativo de esa producción, como un 80%)… la gente que inspecciona todo eso cobra un sueldo. Y no veas la de tiempo que se pierde (más cuanto más cantidad de producto hay que examinar).

c) –El número de artículos a inspeccionar es muy elevado. El error cometido en una inspección del 100% puede ser mayor que el cometido en un muestreo de aceptación. A ver si lo entendéis: aunque pueda parecer mejor examinar todo lo que nos han vendido o examinar todo lo que hemos producido, ello puede ser peor que examinar sólo una muestra. Por ejemplo, cuanto más tiempo empleemos en examinar los productos, tanto más cansados estaremos y más errores cometeremos examinándolos… podemos llegar a romperlos accidentalmente. ¿No os pasa a veces que después de mucho tiempo haciendo lo mismo se nos cansan los ojos y ya no estamos para nada? Pues eso se podría evitar si en vez de examinarlo absolutamente todo, examinamos sólo una muestra representativa… para manipular el menor número de productos posible.

d) –El historial del proveedor es bueno (y no se le quiere enfadar o cuestionar examinando un montón de productos que sabemos casi seguro que no van a estar mal).

Con un muestreo de aceptación ahorramos tiempo, dinero, personal… sin tener que dejar de examinar la calidad del producto.

Otra cosa: tened en cuenta que el que se acepte un lote con muchos defectuosos no es malo sólo para el cliente… también lo es para el proveedor, porque en cuanto el comprador se dé cuenta, lo más seguro es que no vuelva a comprarle o a negociar con él… Ésa es la base en la que se sustenta el hecho de que un control de calidad le interesa a todas las partes involucradas. Es por ello que la mayoría de las veces negocian entre ambos de antemano cuáles son las condiciones aceptables para admitir un lote de pedidos.

.

Resumiendo con el muestreo:

-Es menos costoso (en tiempo y dinero).

-Hay menos personal involucrado.

-Se maneja menos el producto (se reducen daños).

-Puede aplicarse cuando las pruebas son destructivas.

Pero:

a) -Se pueden aceptar lotes malos y rechazar lotes buenos aún con promedios de defectuosos bajos… si la técnica de muestreo empleada no es lo suficientemente compleja.

b) -Se requiere una serie de cálculos no necesarios en una inspección al 100%. Veremos algunos de esos cálculos más adelante. Son un poco complejos pero nada del otro mundo. El problema es que… no todo el mundo sabe hacerlos y eso es una desventaja comparado con examinar los productos al 100%: ahí no hay cuentas que valgan… se examina todo y punto. Eso lo puede hacer cualquiera, no se necesita un técnico en estadística (que cobre como un técnico de estadística).

.

Existen varios tipos de planes de muestreo, que son técnicas que se fueron inventando y desarrollando conforme se fueron necesitando en diferentes áreas, como el control de calidad.

Un plan de muestreo no es más que un planteamiento que indica el tamaño de la muestra que hay que utilizar y los criterios de aceptación o rechazo correspondientes para juzgar el lote. Porque no todas los planes de muestreo se ajustan al mismo tipo de producto, circunstancias, tiempo, etc. Si el mismo plan valiera para todo… emplearíamos sólo esa técnica, ¿no te jode?

Algunos de los diferentes tipos de muestreo que se fueron desarrollando desde la aparición de la estadística como disciplina:

-Simple (ahora hablamos de él).

-Doble.

-Múltiple.

-Múltiple secuencial (éste es el que vamos a ver).

Todos esos tipos pueden ser por atributos o por variables. No os quebréis la cabeza con esto, os los señalo para que veáis que existen varios porque no todas las circunstancias de examen de productos son iguales.

.

La estadística de finales del XIX consistía en cosas sencillas, como estudiar la producción tomando solamente una muestra de una población dada para el propósito de inferencia estadística. Puesto que solamente se toma una muestra, el tamaño de muestra debe ser lo suficientemente grande para extraer una conclusión. Una muestra grande muchas veces cuesta demasiado dinero y demasiado tiempo.

La estadística de la época se realizaba normalmente conforme a la recolección de lotes o conjuntos de datos. Los métodos estaban, por tanto, centrados en un solo examen de los datos, y las probabilidades se estimaban conforme a una sola evaluación de los datos.

En aquellos tiempos, los muestreos extendidos eran los más sencillos, como el plan de muestreo simple, que consistía en tomar una muestra de n unidades y se determina el destino del lote (aceptado o rechazado) en base a la información contenida en la muestra. Ejemplo: tomamos una muestra de tamaño (n) 80, y si hay más de 6 artículos defectuosos (c) que para nosotros es nuestro límite aceptable, se rechaza el lote.

Otro ejemplo: para estudiar la producción de una fábrica de máquinas de coser de la época y comprobar si la calidad de lo producido era buena o mala, había que examinar un número muy alto de máquinas de coser producidas… porque si no, no sería representativo de la producción total. Hacer eso cuesta una gran cantidad de dinero y lleva muchísimo tiempo… imaginaos tener que revisar el 80% de la producción anual de máquinas de coser de la fábrica para poder estimar si se estaban fabricando con una calidad aceptable o no. Había muchas veces que, ya que se ponían, examinaban el 100% de la producción con todos los costes adicionales que eso conlleva. O, lo que es peor… no se hacía para nada porque costaba dinero.

Si bien todos estos conceptos se fueron desarrollando poco a poco desde finales del XIX, como métodos de control de calidad, no fue hasta la llegada de la Segunda Guerra Mundial que las técnicas de muestreo experimentaron una auténtica revolución donde estas primitivas técnicas sirvieron de base de muchos y más sofisticados desarrollos en las metodologías secuenciales y de control de calidad. En esos años de la revolución econométrica fue cuando se inventó el muestreo secuencial.

.

1.4. Quiénes crearon el concepto de muestreo secuencial… y por qué.

A finales de los años 30 y principios de los 40, se produjo un incremento masivo (brutal, diría yo) de la producción de materiales de guerra (estalló la Segunda Guerra Mundial), y se necesitaba asegurar que los productos, en particular las municiones, fueran seguras para aquellos que las iban a utilizar (los soldados)… y seguras para matar al enemigo, claro. De la misma forma que durante esa guerra se produjeron avances tremendos en química (mejores combustibles), aerodinámica, mecánica y aviación (nuevos modelos de aviones, motores a reacción), el radar y el sonar, nuevos medicamentos (refinamiento y uso extensivo de la penicilina), etc… también se produjeron avances en matemáticas y Economía (como en el control de calidad) aunque no sea un hecho muy conocido.

[Nota: es bajo situaciones de presión (como una guerra) que la mente humana trabaja más. No estoy diciendo con eso para nada que las guerras sean necesarias, tan sólo que es cierto que se producen grandes avances científicos y técnicos (soluciones, vaya) cuando hay guerras y otras situaciones de presión, como una hambruna, una sequía, una plaga… se ve que el matarnos unos a otros o el evitar que nos maten agudiza el ingenio.]

El entonces Departamento de Guerra de EEUU (actual Departamento de Defensa, el equivalente a nuestro Ministerio de Defensa) se vio obligado a establecer un programa de control de calidad de la producción bélica para que sus soldados fueran a la guerra a matar japoneses y alemanes con buenas herramientas. El departamento quería hacer especial hincapié en la producción de municiones. Disparar un proyectil que no impacta en su blanco, o que explota antes de tiempo, etc., es una oportunidad perdida de matar a tu enemigo, pero también:

-es un desperdicio de material;

-de tiempo de producción;

-de dinero;

-pone en riesgo la vida de tu personal: puede explotarle a él o puede darle la oportunidad a su enemigo de matarle.

En definitiva, el Departamento de Guerra quería instaurar un programa de control de calidad de la producción bélica de municiones. Más concretamente, de las municiones antiaéreas. Y le encargó al Grupo de Investigación Estadística de la Division of War Research, (“División de  investigación bélica”), que lo diseñara.

A Abraham Wald (1902-1950) se le conoce principalmente por la anécdota histórica relacionada con el sesgo del superviviente, de señalar que la muestra estadística de impactos causados en los aviones americanos por los alemanes en la SGM lo que indicaba en verdad era que las zonas que había que reforzar con blindaje eran donde NO daban. Pero Wald tuvo muchísimas más aportaciones. Fue el padre del muestreo secuencial y realizó numerosos descubrimientos en los campos de la Geometría, Teoría de la Decisión e Incertidumbre (trabajó con Oskar Morgenstern) y Econometría. Fuente: MacTutor History of Mathematics archive.

Esta división estaba agregada a la universidad de Columbia. Y en ese proyecto participaron econometristas (estadísticos económicos) de la talla de Abraham Wald, Jacob Wolfowitz, W. Allen Wallis y Milton Freedman.

[Nota: En algunos libros os encontraréis con que se le atribuye la invención del concepto de test secuencial (que no la aplicación desarrollada al completo y aplicada al control de calidad) al famoso matemático inglés Alan Turing como parte de su técnica criptoanalítica “Bamburismus” de descodificación del código encriptado “Enigma” que utilizaba la marina de guerra alemana en la Segunda Guerra Mundial. En realidad, Wald y Turing desarrollaron el concepto al mismísimo tiempo (años 40), pero se le da preferencia a Wald en el crédito porque la investigación de Turing no salió a la luz hasta los años 80 por ser secreto de Estado y no tuvo, por tanto, repercusión en el mundo académico y científico, ni desarrollo posterior… porque no se conocía, vaya.]

A la hora de establecer ese programa de control de calidad de las municiones, estos cuatro econometristas, dirigidos por Wald, se encontraron con una serie de problemas que dificultaban su labor.

A saber… las técnicas simples hasta entonces utilizadas en estadística no se acomodaban a lo que estos señores necesitaban. Estaban en mitad de una guerra y no se podía perder mucho tiempo ni recursos en realizar un control de calidad de un “producto” como las municiones para las que comprobar su calidad implicaba… dispararlas.

No había otra forma de comprobarlas: había que destruirlas.

Menudo plan, ¿eh? Una tarea “dificililla” la que le encargaron a estos señores…

Vosotros, lectores, os estaréis preguntando seguramente… ¿y cómo narices se puede evitar eso?

No se puede evitar el tener que disparar municiones para comprobar su calidad, pero Wald y sus compañeros (especialmente Wald, que fue quien llevó el peso de la investigación) lograron demostrar que no hacía falta examinar (dispararlos, en este caso) tantos “productos de una producción” como en un muestreo simple para comprobar la calidad.

Abraham Wald diseñó a partir de conceptos como “la ruina del jugador” y el control de calidad, el Test Secuencial de Razón de Probabilidad (TSRP), que es la base del muestreo secuencial.

.

1.5. El concepto de muestreo secuencial.

Este modelo pretende determinar la cualidad de un lote de productos mediante un mínimo muestreo (y que aún así produzca resultados fidedignos).

La idea es hacer un muestreo del lote de manera secuencial (artículo a artículo, o grupo de artículos a grupo de artículos) hasta que se pueda tomar la decisión de si el lote se ajusta a nuestras especificaciones o si debe ser rechazado.

Recordemos que hasta principios del siglo XX el análisis se centraba en torno a un solo examen de los datos, y las probabilidades se estimaban en torno a una sola evaluación de los datos.

Pues ahora, con el método secuencial, en vez de definir un solo tamaño de muestreo, se dibujan un par de líneas (bordes estadísticos), una para decidir el rechazo de la hipótesis nula (esto es, se acepta nuestra hipótesis, por ejemplo, que el lote es adecuado) y la otra, para aceptarla (se acepta la hipótesis nula, esto es, se acepta que falla la hipótesis alternativa que planteamos o lo que es lo mismo, se rechaza el lote). Los datos se obtienen después secuencialmente (se examinan cuáles son defectuosos), y se grafican (se apuntan ordenadamente) comparándolos con esos mismos bordes: en el eje de abscisas vamos apuntando qué resultado (n) nos da cada muestra, si aceptable o no; y en el de ordenadas apuntamos el “número” de la medida (producto examinado número 1, número 2, número 3…), cruzamos las dos y comparamos el punto de cruce con los bordes. Tras cada comparación, se pueden tomar tres decisiones:

–Detener el proceso de muestreo y rechazar la hipótesis nula (esto es, se acepta la hipótesis que planteamos como alternativa a “no va a ser”) cuando nuestra comparación “choca” con la línea de rechazo del lote.

–Detener el proceso y aceptar la hipótesis alternativa a la nula (cuando nuestra comparación “choca” con la línea de aceptación del lote): se acepta como válida la hipótesis que planteamos en su momento como alternativa a la nula o “no va a ser”.

–Continuar con el muestreo (todavía no hemos chocado” con ninguno de los dos bordes).

Vamos a verlo con un dibujito (figura 1).

Figura 1. Concepto de muestreo secuencial.

.

El éxito de esta metodología reduce enormemente el coste e incrementa la fiabilidad de los suministros. Tanto éxito tuvo este método, que se declaró clasificado hasta terminada la guerra, para que las potencias del Eje no pudieran copiarla y aprovecharse de ella.

Ahora veremos más adelante, en los ejemplos, cómo se calculan esas líneas de rechazo y cómo se hace con “numeritos”, tranquilos. De momento, comprended el concepto.

Eso que hemos visto es el concepto en su base más simple. Pero quiero que sepáis que esto ha evolucionado tremendamente desde que Wald se inventó el concepto en 1943 y existen muchas pero que muchas variantes de este método, ya que cada medición tiene una serie de circunstancias que obligan al “medidor”, al estadístico, a modificarlo para que se adapte a lo que necesita (unos ponen la línea de rechazo de la hipótesis nula abajo, otros cambian el eje de ordenadas para situar los objetos defectuosos y las abscisas para situar el número de objetos medidos, etc. ).

Figura 2. Esquema de plan de muestreo secuencial.

 

.

Por ejemplo, en los modelos más tempranos, como el mismísimo STRP (siglas en inglés) de Wald, las líneas de borde salen paralelas según los cálculos (figura 2), y el muestreo puede seguir y seguir hasta que se choque con una de las líneas… o hasta que se termine de examinar TODA la producción.

En la mayoría de los modelos actuales, las líneas convergen, como en la figura 1, e incluso se establece una tercera línea de parada en otros. En estos casos se necesita saber de antemano el número de muestra estadística que se requiere, obviamente.

Figura 3. Esquema de muestreo secuencial múltiple.

.

Es más, en la mayoría de los tests actuales, el análisis secuencial se aplica “de manera múltiple” donde el grupo 1 es mayor que el grupo 2. Si es necesario, el análisis secuencial puede producir tests para una segunda cola (para estimar las diferencias entre ambos), que es el caso del patrón básico de los dos triángulos que se sobreponen como en la figura 3.

Ese modelo sirve para comparar entre distintos grupos de muestra, y poder ver con más claridad si se repiten los mismos patrones en uno y en otro.

Bueno, no os quiebro más la cabeza, que lo que me interesa es que os quede claro el concepto.

[Nota para estadísticos: Por favor, tened en cuenta que el muestreo secuencial tiene un coste estadístico, en términos de poder estadístico (esto es, la probabilidad de que el test rechace la hipótesis nula cuando la hipótesis nula sea falsa) reducido. En la fase inicial, para el mismo tamaño de efecto (medida de la fuerza de la relación entre dos variables en una población estadística), el tamaño de muestra máximo calculado para el análisis secuencial es mayor que el de un modelo de tamaño de muestra fijo. Sin embargo, el tamaño de efecto en los datos recogidos es a menudo mucho mayor o mucho menor que el que se preveía durante la fase inicial. Cuando esto sucede, el análisis secuencial permite obtener una conclusión más temprana y poder así rechazar o aceptar la hipótesis nula, terminando el proceso. Así que el tamaño de muestra utilizado a la hora de la verdad es a menudo menor de lo planeado, y menor de lo requerido por un modelo de tamaño de muestra fijo.]

Bueno, sigamos expandiendo el concepto de Wald, que es el más básico.

El muestreo secuencial originalmente fue desarrollado por Wald en 1943 y últimamente por John Whitehead en 1983. Es por eso que al primero se le denomina el tradicional (sin límite, hasta que se agote el lote) y al segundo, como lo denominó Whitehead, Triangular (con punto de parada).

Vamos a ver el tradicional, que es el que nos interesa por ser el que dio origen a todos los demás, el que comenzó la revolución estadística secuencial.

.

2. Muestreo Secuencial Tradicional.

Figura 4. Diagrama básico de un plan de muestreo secuencial.

 

En un muestreo secuencial, se toma una secuencia de muestras del lote (fig. 4) y se deja que el número de muestras lo determinen por completo los resultados del proceso de muestreo. En teoría, el muestreo secuencial puede continuar de manera indefinida, hasta que se hace la inspección del 100% del lote. Si el tamaño de la muestra seleccionado en cada etapa es mayor que uno, al proceso suele llamársele muestreo secuencial grupal. Si el tamaño de la muestra inspeccionado en cada etapa es uno (vamos examinando de uno en uno), al procedimiento suele llamársele muestreo secuencial artículo por artículo.

El muestreo secuencial artículo por artículo se basa en la razón de prueba de la probabilidad secuencial desarrollado por Wald. Como vemos en la gráfica de la figura 4, se grafica en la carta el número observado acumulado (línea verde) de los artículos defectuosos. Para cada punto, la abscisa (la línea “tumbada” del eje) es el número total de artículos seleccionados hasta ese momento, y la ordenada (la línea del eje que está “de pie”) es el número total de artículos defectuosos observados. Si los puntos graficados se mantienen dentro de los límites de las líneas de aceptación y rechazo, debe analizarse otra muestra. Tan pronto como un punto se localice en o encima de la línea superior, el lote se rechaza. Cuando un punto muestra se localiza en o abajo de la línea inferior, el lote se acepta.

El muestreo secuencial elemento por elemento se basa fundamentalmente en la idea de “recorrido aleatorio”. Esto es, analizamos cómo se van comportando las acumulaciones de fallos y aciertos de una muestra aleatoria.

El método secuencial elemento por elemento de Wald comienza con P₁, P₂, alfa y beta determinados, y con eso se fija un método de anotación y unos límites de aceptación y rechazo que satisfagan estos requerimientos.

Es decir, las líneas de aceptación y rechazo salen de esos cuatro datos, los cuales iremos viendo poco a poco.

Wald adopta la “relación de probabilidad secuencial” como buen método para llevar la cuenta. Ésta es la relación de probabilidad de obtener el resultado acumulado de la muestra, si el material fuese de calidad p2 a la probabilidad de obtener estos resultados si el material fuese de calidad P₁.

Si el resultado en cualquier momento resulta mayor que una cifra determinada negociada entre cliente y proveedor y condicionada por las probabilidades de error alfa y beta (ahora los vemos), el lote es rechazado. Si cae debajo de una segunda cifra igualmente condicionada por alfa y beta, se acepta el lote.

Observad que, de acuerdo con este procedimiento, los resultados elevados llevan al rechazo y los bajos a la aceptación. Wald demostró que el sistema de anotación puede reducirse a un sistema mucho más sencillo, que consiste simplemente en anotar el número acumulado de elementos defectuosos en un diagrama, o bien anotar el mismo en una hoja de inspección.

El procedimiento de Wald es especialmente relevante si los datos se recogen secuencialmente. Por ejemplo, en el caso de los fallos producidos en una línea de producción o en el rendimiento de una actividad. El análisis secuencial es diferente de los tests clásicos de comprobación de hipótesis, donde el número de casos examinados o recogidos se fija al comienzo del experimento (p. e., vamos a examinar 80 de 100). En esos tests clásicos, la recolección de datos se ejecuta sin análisis y sin considerarlos, no como en el método secuencial. En los tests clásicos, después de que se han recogido los datos es cuando se toman las conclusiones.

Sin embargo, en el análisis secuencial, todo caso es analizado directamente después de haber sido recogido, y los datos hasta el momento tomados, se comparan con unos valores/umbrales (techo o suelo), con lo que se incorpora la nueva información recibida directamente del recién recolectado caso.

¿Y por qué nos importa eso?

Porque esta aproximación secuencial permite establecer conclusiones durante la recolección de datos, y se puede obtener una conclusión final mucho antes que con los tests clásicos, con lo cual se ahorra dinero, tiempo… e incluso vidas humanas. Porque el muestreo secuencial se puede utilizar y, de hecho, se utiliza muchísimo, en el control de calidad de medicamentos, experimentación y procedimientos médicos. Con lo cual también se ahorra mucho sufrimiento a los pacientes.

Obviamente, la dificultad de este método estriba en que tenemos que ser nosotros los que establezcamos los límites sobre y bajo los cuales aceptamos o no los lotes (o la hipótesis nula)… y tenemos que hacerlo de forma objetiva… o lo más objetiva posible.

Y precisa.

Normalmente, los valores de P₁ y P₂ se negocian. Otras veces… los impone el cliente (“el cliente siempre tiene la razón”). Otras veces lo decide la normativa legal… y otras veces, lo decide la proporción entre las variables que estamos estudiando en un experimento. Eso lo veremos en el último ejemplo, el más desarrollado que os voy a exponer.

Bueno, pues esos valores hay que decidirlos antes de empezar, así que es obvio que tengo que decidir qué es defectuoso para mí… y qué no. En el caso de Wald, lo correcto para el Ministerio de Guerra era en primer lugar que la munición explotara contra el blanco enemigo, y lo “defectuoso” era que NO explotara sobre el blanco enemigo. Se supone que la misión de un obús es explotar cuando impacta contra un blanco, ¿no?

[Nota: se miden los fallos en las explosiones, porque queremos medir la calidad de la munición en sí, no si el cañón es defectuoso o si el artillero está borracho y dispara el obús en dirección al suelo. Otros estudios se encargarán de estudiar la calidad de la puntería de los artilleros y otros sobre la calidad de los cañones, no éste de nuestro ejemplo. Como véis, tenemos que ser muy precisos con respecto a qué queremos medir.]

En segundo lugar, uno tiene que decidir dar un porcentaje positivo sobre el número total que considere aceptable… y otro inaceptable. Es decir, sabiendo que defectuoso es que no explote al impactar… ¿cuántos explotan al impactar de entre todos los que disparo?

Ahí ya intervienen las consideraciones técnicas y necesidades de las partes involucradas. Algún general podrá permitirse que su pedido de municiones antiaéreas tenga entre un 60-70% de municiones que exploten al impactar contra un enemigo, porque su artillería está situada en una zona de vigilancia donde no pasan o pasan muy pocos aviones enemigos… pero otro general más estricto, no admitirá ningún pedido que esté por debajo del 95%. Puede pasar también al revés, que el general por donde pasan pocos aviones estime que en el poco pedido que le llegue de municiones éstas deben explotar el mayor número de veces y un general muy, muy apurado porque está directamente en el frente admitirá casi cualquier lote con tal de que le envíen lo que sea para poder dispararles a los cabrones de la Luftwaffe (total, lo va a disparar todo, explote o no…).

No os quiero marear mucho, simplemente os quiero reseñar que la costumbre en términos de control de calidad de producción y fabricación es establecer como mínimo, un 80% (0,8) de correctos (recomendado por Wald, Armitage, Brand, etc.). Muchas veces os encontraréis con valores de 0,9. Eso se ha establecido mediante experiencia y cálculos muuuuuy lentos y muuuuuy complicados por parte de economistas y estadísticos… pero, lo cierto es que estoy de acuerdo: menos de un 80% de productos de calidad aceptables en un lote es tontería. Yo no me lo quedaría, al menos, pero os recuerdo que cada cliente o receptor de la mercancía tiene sus necesidades y establecen el valor de manera acorde.

Tened en cuenta que es prácticamente imposible obtener un lote con el 100% de aciertos. En nuestro caso se aceptarían lotes cuyos muestreos indicaran un 80% (umbral inferior) o más de ese porcentaje (más de un 100% no iréis a pedir, ¿no? Je, je, je…).

Así pues, basándonos en la figura 4, de una producción-pedido de, por ejemplo, un millón de obuses, probamos (disparamos) una muestra (ya hablaremos de cuál sería una muestra suficientemente representativa del total) de 1000 obuses. Conforme los vamos disparando, vamos subiendo en uno si ese obús no explota… es decir, si explota, no lo acumulamos, la línea de puntos de cruce se queda lisa, pero si no explota, subimos en uno la línea. Si, después de probar 1000 obuses nos encontramos con que se han acumulado 500 sin explotar y que eso ha rebasado el techo de rechazo, mandamos todo el pedido de vuelta a la fábrica con una carta añadida cagándonos en los ancestros del gerente de la factoría que ha fabricado semejante chapuza de municiones. Ya sabemos que ALGO pasa con la producción de esa fábrica… y allá que irán (muy enfadados) los auditores a ver qué está pasando.

Si, por el contrario la línea se queda lisa porque no tenemos que ir apuntando obuses que no explotan, lo más seguro es que acabemos “chocando” con la línea de aceptación. En ese caso, se acepta el pedido y se envía rápidamente para acabar con los aviones nazis… porque el muestreo ha revelado que el lote es suficientemente bueno para nuestras especificaciones. Más correctamente habría que decir que es lo suficientemente bueno para nosotros y que no es lo suficientemente malo como para permitirnos el rechazarlo (con los costes de tiempo, dinero, etc., que conllevaría el rechazarlo), ¿lo entendéis?

Bueno, eso se vuelve un poco más complejo, ya que no nos basta con saber qué es aceptable y qué no para nosotros… sino que tenemos que establecer dos valores adicionales: el poder estadístico, y el nivel alfa.

“¿Qué cojones es eso?”, se preguntarán ustedes.

.

–Alfa (α) es la posibilidad de que quien esté realizando el estudio termine el muestreo porque crea que ha descubierto una diferencia. La costumbre y los estadísticos han establecido que la mejor proporción para no alargar el estudio sin perder fiabilidad es del 5%, que significa que un 5% de las veces (una de veinte) de las experimentaciones habrían sido detenidas incorrectamente por el que realiza la medición… porque el dato le señalaba que había “algo”, cuando en realidad, no lo había. Es un error estadístico de Tipo I y es el que indica el nivel de significancia estadística (relación con el azar o la casualidad) de un test. Es el error de la excesiva credulidad.

-El poder estadístico (β) es la posibilidad de que, si existe una diferencia con la realidad (por ejemplo, entre la muestra y la producción o lote total), el que realiza la medición debería poder observar esa diferencia en los datos suministrados. Es un error estadístico de Tipo II y es el que indica el nivel de sensibilidad (lo bien que detecta nuestro estimador los casos positivos de la variable asociada) y especificidad de un test (lo bien que detecta nuestro estimador los casos negativos de la variable asociada). Es el error del excesivo escepticismo.

Estos dos medidores sirven, como podéis ver, para otorgar “imparcialidad” o “eliminar riesgos y errores naturales” de todo proceso de investigación. Estos medidores, al ser introducidos en las cuentas para calcular los bordes de aceptación y rechazo, sirven para «afinar la puntería» y para “obligarte” a prolongar el estudio (a seguir contando, examinando y anotando) lo suficiente como para eliminar el número de errores que normalmente cometerás o los “desvíos” que normalmente te encontrarás a la hora de hacer un muestreo secuencial de éstos. Seguro que si por nosotros fuera, parábamos de comprobar a los diez artículos de entre un millón. Con estos medidores, te obligan a contar más de los estrictamente necesarios… lo suficientemente más como para, sin tener que alargar mucho el muestreo, te “quiten” las posibilidades más calculadas de que «la cagues», ¿entendéis?

No os voy a quebrar la cabeza explicándoos cuáles deberían ser los valores de α y β porque eso requeriría un artículo dedicado a ello en exclusiva. Dependen del caso en cuestión y de si el medidor está más preocupado en obtener una fiabilidad elevada aunque no le importe alargar el muestreo o viceversa.

Normalmente os encontraréis con valores de 5% (0.05), 10% e incluso 80%, que es el estándar en controles de calidad (0.8). Esos son los valores más ampliamente aceptados (aunque se pueden cambiar al gusto, claro).

.

3.      ¿Cómo se calcula?

3.1. Los fundamentos teóricos de la formulación matemática del muestreo secuencial.

Esto no es para el que no sepa de matemáticas, lo incluyo para que los que sepan de formulación vean de dónde se sacó Wald el razonamiento para crear el muestreo secuencial (no se lo sacó de la manga, vaya). El que lo desee, que pase directamente a los ejemplos para enterarse mejor.

Siendo X1,X2, . . . variables aleatorias con una distribución común P, la prueba consiste en comprobar la hipótesis nula H : P = P0 contra K : P = P1, y el SPRT se detendrá en el estadio de muestreo:

N = inf{n ≥ 1 : Rn ≥ A ó Rn ≤ B}

Donde:

A > 1 > B > 0

…son límites de parada y donde:

…es la function de verosimilitud, fi la densidad de Pi con respecto a alguna medida común dominante ν, i = 0, 1.

Cuando se produce la detención, H ó K se aceptan según si:

RN ≤ B ó RN ≥ A

La elección entre A y B viene dictada por las probabilidades de error:

 

α = P0{RN ≥ A}

y

β = P1{RN ≤ B}

Esta simple prueba logró que Wald demostrara que la solución óptima de testar H contra K, en el sentido en que el the SPRT minimiza tanto E0(T) como E1(T) entre todos los tests cuyo tamaño de muestra T tenga una expectación finita tanto bajo H como K , y cuyas probabilidades de error satisfagan:

P0{Rechazar H} ≤ α y P1{Rechazar K} ≤ β

.

Os dejo con las obras originales de la investigación del método secuencial… y abandonamos el chino para hablar en castellano… utilizando los ejemplos.

Sequential Analysis (“Análisis secuencial”) de Abraham Wald (1947). Ed. John Wiley and Son, Inc, New York.

Sequential Tests of Statistical Hypotheses (“Pruebas secuenciales de hipótesis estadísticas”) en los Annals of Mathematical Statistics (“Anales de estadística matemática”) 16 (2): 117–186. Wald, Abraham (junio, 1945).

Sequential analysis: some classical problems and new challenges. (“Análisis secuencial: alguna problemas clásicos y nuevos desafíos”). Tze Leung Lai (Universidad de Stanford).

.

3.2. Cómo se calcula a la antigua un muestreo secuencial.

Repitamos lo dicho anteriormente, pero enterándonos… En la actualidad existen numerosos programas informáticos para calcularlo, pero os voy a poner dos ejemplos para que podáis entender mejor la aplicación práctica del concepto y que veáis que no me limito a decir lo que es sin saber hacerlo yo por mí mismo.

.

3.2.1. Ejemplo de muestreo secuencial (I). Muestreo artículo a artículo.

Bueno, pues ya vimos que los planes de muestreo secuencial pueden ser artículo o artículo, o grupales. Artículo a artículo: se inspeccionan unidades 1 a 1 y la decisión depende de los resultados obtenidos en cada unidad. También se pueden utilizar tamaños de muestra mayores que 1 y en este caso se define como muestreo secuencial por grupos. Vamos a ver el primer caso, artículo a artículo.

Las líneas límite de la gráfica (los bordes) son funciones de los parámetros α, β, p₁ y p₂… y se calculan utilizando las siguientes fórmulas:

El número acumulado de unidades defectuosas se grafica tomando como abscisa el número total de unidades inspeccionadas hasta ese momento y en las ordenadas el número total de unidades defectuosas. Si el punto cae entre las líneas límites, se toma otra muestra. En el momento en que un punto cae fuera de los límites se acepta el lote o se rechaza según si cae en o por debajo de la línea de aceptación o en o por encima de la línea de rechazo. Teóricamente esto podría continuar hasta que se inspeccionara el 100% de las muestras, pero como regla estos planes se detienen cuando el número de unidades inspeccionadas alcanza tres veces el número de unidades que se inspeccionarían con una inspección simple.

Por ejemplo, se desea un plan de muestreo secuencial para un pedido de destornilladores en el cual la condición para aceptarlos es que puedan atornillar un tornillo (acumula 0 en la gráfica) y la condición para rechazar como defectuoso un destornillador es que le sea imposible hacerlo (acumula +1). Aparte, proveedor y cliente (pongamos que somos nosotros el cliente) negocian que el límite de aceptable de defectuosos en el lote es de un 1% (0.01) y el de inaceptable es el de un 9% (0.09). Es decir, que si nos encontramos con que el lote tiene un 1% de productos defectuosos nos lo quedamos seguro (porque el proveedor dice que no puede garantizar un 100% de aciertos en la fabricación, y que con un 99% no piensa admitir la devolución para nada, que es una producción más que exitosa)… y de ahí nosotros aguantaremos hasta un 9% a partir de lo cual mandamos el pedido de vuelta porque consideramos que con tanto destornillador defectuoso no le sacamos beneficio.

.

Los errores que estamos dispuestos a admitir son α = 5% = 0.05 y β = 10% = 0.10

Así pues, p₁ = 0.01, α = 0.05, p₂ = 0.09, β = 0.10.

Las líneas de aceptación y rechazo son, por tanto (sustituid los valores en las fórmulas):

x_acept = -1.046 + 0.034n

x_rech =   1.343 + 0.034n

Esto nos permite también determinar después de cuántas unidades inspeccionadas tendremos la primera oportunidad de aceptar el lote o de rechazarlo (se redondea a números enteros)… si no hay problemas y si no hay ningún defectuoso hasta entonces:

x_acept = -1.046 + 0.034n ≥ 0    n = 30.76 = 31 ; (que sale de 1046 / 0.034).

¿Para qué nos sirve eso? Para saber cuántos destornilladores nos tienen que llegar mínimo para empezar a hacer el control de calidad.

.

[Nota 1: los redondeos os darán problemas, yo he optado por cortar de raíz. He empleado un ejercicio de mi manual de estadística que, curiosamente, también se puede encontrar por internet, expandiéndolo y aclarándolo por mi cuenta, pero el hijo de perra que se lo inventó hizo los redondeos como le salió de los huevos, yo he empleado tres decimales. Como os podéis fijar en la gráfica de la figura 5, es un ejemplo muy radical, supongo que lo pusieron así para hacerlo ver más claro.

Nota 2: un comentario a estas cifras de α y β… por lo que parece estamos siendo bastantes estrictos con el azar pero bastante laxos con nuestro escepticismo. Quizás sea porque esperamos que no haya muchos errores, y no queremos alargar innecesariamente el muestreo.

Nota 3: cuidado con el cambio de signo en h₁… que es ne-ga-ti-vo, que más de uno os lo saltaréis, seguro.]

Nota 4: os habréis fijado que NO nos dicen cuántos destornilladores tenemos que contar en total. En este ejemplo nos limitamos a examinar destornilladores hasta que lleguemos a una de las dos líneas, y ya está.]

.

Bueno, pues empezamos a darle valores a ambas fórmulas resultantes para obtener los puntos desde los que dibujar  las dos líneas:

Con x_rech = 1.343 + 0.034n, que es la línea de rechazo, vamos dando valores de producto 1, producto 2 , producto 3, etc.

Para n = 1, nos da que: 1.343 + 0.034 = 1.377

Ése es el primer punto de la línea de rechazo. ¿De dónde sale 0.034? De multiplicar n = 1 por 0.034;

Para n = 2, nos da que: 1.343 + 0.068 = 1.411

Ése es el segundo punto de la línea de rechazo.¿De dónde sale 0.068? De multiplicar n = 2 por 0.034;

Para n = 3, nos da que 1.343 + 0.102 = 1.445

Ése es el tercer punto de la línea de rechazo.¿De dónde sale 0.102? De multiplicar n = 3 por 0.034;

Y así sucesivamente para obtener los puntos com los que dibujar la línea de rechazo (la de color rojo).

Con x_acept = -1.046 + 0.034n, que es la línea de aceptación, también vamos dándole a n valores según vamos aumentando los artículos de uno en uno: producto 1, producto 2, producto 3, etc.

Para n = 1, nos da que: -1.046 + 0.034 = -1.012

Ése es el primer punto de la línea de rechazo. ¿De dónde sale 0.034? De multiplicar n = 1 por 0.034;

Para n = 2, nos da que: -1.046 + 0.068 = -0.978

Ése es el segundo punto de la línea de rechazo.¿De dónde sale 0.068? De multiplicar n = 2 por 0.034;

Para n = 3, nos da que -1.046 + 0.102 = -0.944

Ése es el tercer punto de la línea de rechazo.¿De dónde sale 0.102? De multiplicar n = 3 por 0.034;

Y así sucesivamente para obtener los puntos com los que dibujar la línea de aceptación (la de color azul).

.

Ea, ya tenemos las líneas, ¿no? Pues ahora empezamos a examinar destornilladores y nos encontramos con que todos pueden atornillar sin problemas un tornillo, excepto el nº 22. Es decir, apuntamos en la gráfica que hasta el destornillador 22, ninguno aumenta el número de errores: todos permanecen en la línea de 0, la de abscisas… PERO al llegar al 22, éste no logra atornillar el tornillo ni para la madre que lo parió, o sea, que es defectuoso… así que anotamos 1 en la gráfica para el destornillador 22, y la línea (la verde) se eleva, por tanto, en un punto, acercándose a la línea roja de rechazo. Después de eso, no nos encontramos con ninguno más defectuoso, con lo que no vuelve a sumar 1, y la línea se queda estable, y seguimos y seguimos anotando destornilladores “buenos” hasta que cruzamos la línea de aceptación (azul). Colour-coded for your convenience, que dirían las personas “modernas”.

Figura 5. Ejemplo de muestro secuencial artículo a artículo.

El lote es aceptable según nuestras condiciones y según nuestras premisas de error. Efectivamente, no había muchos defectuosos.

 

.

El análisis secuencial es bastante rígido porque requiere de un diseño bien definido y estrictamente ejecutado y es por ello que no todos los estadísticos lo emplean porque suelen buscar más “personalización” en los modelos de muestreo, pero lo cierto es que constituye una herramienta muy poderosa en auditoría y control de calidad. Pero que no sólo se utilizan ahí, ¿eh? Es una herramienta tan buena que numerosas especialidades la han adoptado. En Medicina, por ejemplo, se la utiliza muchísimo, porque permite un análisis rápido y fiable de casos relativamente raros con muestras que han de ser necesariamente pequeñas, como la comprobación de administración de medicamentos, tests para la comprobar la efectividad de nuevos medicamentos, las muertes en un hospital)… No podemos estar comprobando con miles de pacientes (que, normalmente no existen tantos o se tienen que ir pasado un tiempo) y haciéndoles pasar dolores y “fatiguitas” a un montón de ellos para comprobar un medicamento. Necesitamos probarlo con el menor número posible de ellos y sin que así perdamos una fiabilidad que, por usar pocos, no haga fallar a la hora de decidir si el medicamento es bueno o malo.

Vamos a ver en mucha profundidad, uno de estos casos aplicados al mundo de la medicina, para que veáis que las invenciones de la Economía también son aplicables a otras áreas de estudio, y que no sólo es al revés, que la Economía se apodera de todo lo que ofrecen otras áreas de estudio.

.

3.2.2. Ejemplo de muestreo secuencial grupal (II), aplicado a la investigación médica.

Este ejemplo lo he sacado de un ejercicio de la facultad de Psicología de la Universidad Autónoma de México (la UAM). Lo explico, lo desarrollo y lo expando para vosotros, panda de vag… digo queridísimos lectores.

En principio, como ya hemos visto, la prueba estadística de análisis secuencial fue un procedimiento aplicable en fábricas, para un mejor control de calidad.

De acuerdo con este principio, se planteaba de la manera siguiente en un control de calidad:

P₁ = proporciones de calidad satisfactoria.

α = probabilidad de rechazar un lote de calidad aceptable.

P₂ = proporción de calidad inaceptable.

β = probabilidad de aceptar un lote de calidad inaceptable.

En Medicina, existen problemas que se pueden plantear de manera similar (en términos de un estricto sentido matemático), ya que las formas más tradicionales y sencillas de observación no se ajustan a esta disciplina, debido a que implican cambios muy lentos y el número de datos disponibles está en razón de la esperanza de vida del observador, más que de su interés o capacidad para trabajar en esta tarea. Algunas enfermedades son raras y el mejor método para adquirir los conocimientos y la capacidad necesarios a fin de ayudar a las víctimas y pacientes consiste en utilizar una técnica acumulativa en el análisis de las observaciones… en vez de esperar a juntar a un número de enfermos que se nos pueden morir en cualquier momento (no nos van a esperar a que recolectemos los datos) y que seguramente estarán sufriendo mucho mientras esperan a que examinemos un número aceptable de ellos.

Este modelo estadístico de muestreo secuencial se ajusta adecuadamente a muchas investigaciones de índole médica. El ejemplo más claro es aquel en el que el investigador, una vez que recolecta una muestra de un tamaño suficiente, con respecto al fenómeno por el cual está interesado, sólo necesita reunir unos pocos casos. La magnitud de esta muestra se debió al azar.

El planteamiento bajo el aspecto de la investigación médica se realiza de la forma siguiente:

P_a = proporción de calidad inaceptable para Ha (la hipótesis alternativa a que no suceda, que suele ser la que planteamos)

α = probabilidad de rechazar la hipótesis de nulidad (Ho).

P_o = proporción de calidad inaceptable para Ho (hipótesis nula, esto es, que NO es lo que nosotros planteamos).

β = probabilidad de rechazar la hipótesis alternativa (Ha). Recordemos… “alternativa” a que NO suceda, que es la nula.

Pasos:

1. Obtener las frecuencias del fenómeno por estudiar (Pa y Po) e imponer los valores de la probabilidad.
2. Calcular las pendientes (las líneas de bordes, vaya) para delimitar las zonas de aceptación y rechazo de las hipótesis (Ha y Ho).
3. Graficar las pendientes de regresión de las zonas limitadas y análisis de la casuística en función de la frecuencia acumulada en la gráfica.
4. Aplicar el formulario, que expongo más abajo para calcular los valores del tamaño de la muestra para cada valor de la escala de probabilidad (0, Po, Po + Pa / 2, Pa y 1).
5. Decidir si se acepta o rechaza la hipótesis o si se continúa la observación, respecto al tamaño de la muestra calculada.

.

Ejemplo:

Un investigador está interesado en demostrar que la administración por vía oral de grandes volúmenes de líquido condiciona un factor de morbilidad y letalidad en el periodo perinatal (el período perinatal comienza a las 22 semanas completas (154 días) de gestación y termina siete días completos después del parto) en 364 recién nacidos (no va a tratarlos a todos). Vamos, que administrar mucho líquido a mujeres embarazadas y bebés recién nacidos puede conllevar un aumento de la mortalidad de los bebés… no se sabe pero hay que demostrarlo.

De esta forma, el investigador elige dos grupos al azar (muy importante), a uno de los cuales le administra pequeños volúmenes de líquidos y al otro un gran volumen. Entre los diversos aspectos analizados, existe un grupo de 24 bebés que manifestaron permeabilidad del conducto arterioso (PCA), y de esos 24, 13 mostraron insuficiencia cardiaca y 11 no la tuvieron. El investigador los relaciona en función de los ingresos de líquidos… y decide estudiar a ver si eso está relacionado de verdad o no. Y los va a estudiar por parejas (12 con ingestión alta de líquidos, y 12 con baja ingestión de líquidos).
El modelo experimental tiene dos muestras independientes.

.

Planteamiento de la hipótesis.

• Hipótesis alternativa (Ha). La muestra obtenida aleatoriamente de un total de 364 niños nacidos revela una alta morbilidad de insuficiencia cardiaca en la permeabilidad del conducto arterioso, debida a un alto ingreso de líquidos por vía oral.
• Hipótesis nula (Ho). Con el tamaño de la muestra obtenida aleatoriamente, los cambios observados son producto del azar. No hay diferencias entre ambos grupos por la ingestión de líquidos por vía oral. Se descarta la relación.

.

Nivel de significación.

La frecuencia acumulada de casos de insuficiencia cardiaca y alto volumen de líquidos alcanzó una zona de aceptación, donde α = 0.05.

.

Zona de rechazo.

La frecuencia acumulada de casos de insuficiencia cardiaca y bajo volumen de líquidos alcanzó la zona de aceptación de Ho, donde β = 0.05.

.

Observación en parejas de niños recién nacidos. Esto sería un ejemplo de tabla para que el investigador fuera anotando… lo que a nosotros nos interesa son las proporciones.

.

Aplicación de la prueba estadística.

Pa = proporción de bebés sin insuficiencia cardiaca y con alto volumen de líquidos = 1/12 = 0.08 (es decir, de aquellos a los que se administró mucho líquido, 12, sólo uno NO mostró insuficiencia cardiaca).
α = 0.05
Po = proporción de insuficiencia cardiaca y baja ingestión de líquidos = 2/12 = 0.17 (es decir, de aquellos que tomaron poco líquido, 12, sólo dos mostraron insuficiencia cardíaca).
β = 0.05

.

Fórmula:
Las líneas o pendientes por calcular se basan en la ecuación de la línea recta que sigue:

Y = bX + a

[Nota: como veréis, aquí la fórmula se resuelve de modo un poco distinto porque estamos tratando grupos, no artículo a artículo, como en el anterior ejemplo.]

Donde:
Y = valores del eje de las ordenadas.
a = punto de intersección de la pendiente en el eje de las ordenadas.
b = incremento de Y cuando aumenta X.
X = valores del eje de las abscisas.

.

Cálculo de las pendientes.

Al sustituir las literales de la ecuación de la línea recta, se construyen dos ecuaciones de las pendientes:

De las dos fórmulas anteriores, se simplifica y queda:

De acuerdo con la ecuación anterior, se calculan los límites de los errores a y b, es decir, se delimitan las zonas de aceptación y rechazo de la hipótesis, se analiza cada observación del investigador, y luego se grafica en frecuencias acumuladas de valores absolutos.

En función de las ecuaciones calculadas, queda como sigue:

Y e Y’ = 0.1366X ± 3.908

En seguida se calculan dos puntos de la recta, en el sentido de qué frecuencia se espera cuando la población total es cero y cuál otra con un valor diferente de cero.

Y = 0.1366 (0) + 3.908 = 3.908

Y’ = 0.1366 (0) – 3.908 = 3.908

Por ejemplo, según el valor X = 5…

Y = 0.1366 (5) + 3.908 = 4.591

Y’ = 0.1366 (5) – 3.908 = 3.225

Los valores de Y corresponden a los límites de la zona de rechazo de Ho y aceptación de Ha, mientras que los correspondientes a Y’ limitan la zona de aceptación de Ho y rechazo de Ha. En la figura se dibujan los puntos correspondientes y se unen con una línea, como se ve en la gráfica siguiente.

Posteriormente se analiza cada caso y se dibujan en puntos de frecuencia acumulada, por ejemplo, en la tabla anterior muestra las observaciones del investigador, y se aprecia que la pareja 1 exhibe insuficiencia cardiaca y un gran volumen de la ingesta, además de estar acorde con la hipótesis alterna. Por lo tanto, se dirige hacia el lado positivo, donde se ubica el error alfa. Las parejas 2, 3, 4, 5 y 6 tienen la misma característica y continúan acumulándose en el lado positivo; en cambio, la pareja 7 no es congruente con Ha, por lo cual no puede acumularse y se mantiene en el mismo nivel. A su vez, las parejas subsecuentes están de acuerdo con Ha y se acumulan.

Límites de las zonas de aceptación y rechazo.

Figura 6. Ejercicio de muestreo secuencial.

[Nota: en los ejercicios y problemas de estadística os deberían entregar en el enunciado una tabla con los bebés desglosados con y sin insuficiencia cardiaca y con nivel alto y bajo de líquidos… aquí no nos la dan porque es una investigación científica, y el investigador debe anotar los bebés según los vaya examinando.]

Con la frecuencia acumulada, el grupo alcanzó y rebasó la línea límite del error alfa, y la probabilidad de error fue menor que 0.05.

.

Decisión.
El estudio presentado, con el tamaño de la muestra disponible, alcanzó la zona de error alfa mediante la acumulación de sus frecuencias, por lo cual se acepta Ha y se rechaza Ho: hay relación entre ingesta de gran cantidad de líquidos y permeabilidad del conducto arterioso, que puede provocar la muerte.

.

Interpretación.
En el ejemplo se verifica que el tamaño de la muestra de la población estudiada fue suficiente para comprobar la hipótesis de trabajo del investigador. En este sentido, los niños recién nacidos mostraron aumento en la morbilidad y mortalidad por insuficiencia cardiaca, en presencia de permeabilidad del conducto arterioso e ingestión de un gran volumen de líquidos. Gracias a eso, a los niños de la misma cardiopatía se les previno la insuficiencia cardiaca, al restringirles la ingestión de líquidos.

Bajo el supuesto de que la frecuencia acumulada no hubiera alcanzado cualquiera de las zonas y se hubiera mantenido en el área intermedia, se deben aplicar las siguientes fórmulas para determinar los valores promedio del tamaño de la muestra para cada probabilidad. Traducido al castellano: caso de que no hubiéramos llegado a ninguna de las dos líneas y se nos hubieran acabado los pacientes, significaría que tendríamos que seguir con el muestreo… ¿hasta dónde? Hasta donde digan estas fórmulas…

.

Valores de aceptación y rechazo.

Esta tabla muestra los valores promedio del tamaño de la muestra, y se puede observar que cuando la probabilidad es (Pa + Po) / 2 le corresponde la cifra 112. Esto significa que el estudio requiere tal tamaño de muestra y no necesariamente los 364 recién nacidos, con quienes se llevó a cabo el estudio.

Para la probabilidad de Po, el valor promedio de muestra es de 62 niños recién nacidos. De éstos, si 29 no presentan insuficiencia cardiaca con una gran ingestión de líquidos en la existencia de permeabilidad del conducto arterioso, se aceptará tácitamente Ho; en cambio, de un conjunto de 77 recién nacidos, si sólo cuatro o un valor cercano a cuatro presentan la cardiopatía e insuficiencia cardiaca con alta ingestión de líquidos por vía oral, ello será suficiente para aceptar Ha.

Se debe tener en cuenta que los valores promedio de la muestra en relación con cada probabilidad se han calculado en función de las proporciones originales del estudio, es decir, Pa = 0.17 y Po = 0.08.

.

Cálculos.

Utilizando el formulario de la tabla anterior (redondeos hacia abajo, por favor), tenemos que:

Como se puede apreciar, las técnicas disponibles para análisis secuencial requieren algo más que cálculos matemáticos que la mayoría de los procedimientos estadísticos descritos en cualquier libro de estadística. Estas pruebas estadísticas de análisis secuencial permiten no sólo interpretar los resultados de una investigación, sino también saber si el tamaño de la muestra fue suficiente para demostrar las hipótesis.

.

4.      Conclusiones.

Como hemos podido comprobar, en vez de “prescribir” un tamaño de muestreo fijo, el análisis secuencial se basa en calcular los bordes que delimitan las decisiones estadísticas. Aunque el tamaño y la forma de estos bordes puedan variar según los diferentes modelos (porque hay que ajustarlos a las circunstancias), se atienen a un patrón básico constante… el que diseñaron Abraham Wald y sus compañeros en 1943 con la intención de crear un programa de control de calidad de producción fiable, más rápido y, a la vez, poco costoso.

Ese modelo, el SPRT, acabó siendo adoptado en numerosísimos campos de la investigación científica, incluida la investigación clínica.

Gracias a la adopción del muestreo secuencial, ya no era necesario obtener un tamaño fijo de muestra en la fase inicial para poder tomar decisiones estadísticas ni examinar los datos después de la recolección de los mismos.

Con el análisis secuencial se obtienen ventajas inmensas como, por ejemplo, descubrir los efectos de los tratamientos médicos mucho antes, con muchísimos menos costes en dinero, tiempo, personal necesario… y ahorrando también muchas veces, vidas y sufrimiento.

¿Así que… la Economía no tiene aportaciones científicas propias, importantes y tremendamente prácticas?

La boca le parto al próximo que me diga eso.

Hasta la próxima, lectores.